Foto: Thiago Quadros/Nexo

Números primos
Números primos
 

Em 20 de março, o matemático américo-canadense Robert Langlands recebeu o prêmio Abel, que celebra o conjunto de sua obra em matemática. A pesquisa de Langlands demonstrou como conceitos da geometria, da álgebra e da análise podiam se unir por um elo comum, relacionado aos números primos.

Quando o rei da Noruega conceder o prêmio a Langlands em maio, honrará o esforço mais recente em 2.300 anos de dedicação para compreender os números primos, o maior e mais antigo conjunto de dados em matemática.

Como matemático dedicado ao “Programa Langlands”, sou fascinado pela história dos números primos e pelo modo como recentes avanços revelam seus segredos. Por que eles têm cativado os matemáticos por milênios?

Como encontrar os números primos

 

Para estudar os números primos, os matemáticos “passam” os números inteiros através de uma malha virtual após a outra, até que restem apenas os números primos. Esse tipo de peneirada produziu tábuas com milhões de números primos nos anos 1800. Isso permite que os computadores de hoje encontrem bilhões de números primos em menos de um segundo. Mas a ideia central da triagem não se alterou por mais de 2.000 anos.

“Um número primo é aquele medido apenas pela unidade”, escreveu o matemático Euclides em 300 a.C. Isso significa que eles não podem ser divididos em partes iguais por nenhum número menor, exceto 1. Por convenção, os matemáticos não consideram o número 1 um número primo.

 

Euclides provou a infinidade dos primos - eles continuam para sempre -, mas a história sugere que foi Eratóstenes quem nos deu o crivo para listá-los rapidamente.

Aqui está o princípio da peneira. Primeiro, são filtrados e extraídos os múltiplos de dois, depois os de três, depois de cinco, depois de sete - os primeiros quatro números primos. Se você fizer isso com todos os números de 2 a 100, apenas números primos sobrarão.

Com oito passos de triagem, pode-se isolar os primos até o número 400. Com 168 passos, pode-se isolar até 1 milhão. Esse é o poder do crivo de Eratóstenes.

Tabelas e tabelas

Uma figura antiga na tabulação dos primos é John Pell, matemático inglês que se dedicou a criar tabelas de números úteis. Ele estava motivado a resolver problemas aritméticos antigos de Diofanto de Alexandria, mas também tinha uma obstinação pessoal de organizar verdades matemáticas. Graças a seus esforços, os números primos até 100.000 eram largamente conhecidos já nos anos iniciais de 1700. Por volta de 1800, projetos independentes haviam tabulado todos os números primos até 1 milhão.

Para otimizar os exaustivos passos da triagem, o matemático alemão Carl Friedrich Hindenburg utilizou hastes ajustáveis para eliminar todos os múltiplos de uma página inteira de uma tabela de uma vez só. Um outro método com tecnologia simples mas eficaz usava estênceis para localizar os múltiplos. Por volta da metade de 1800, o matemático Jakob Kulik havia embarcado em um projeto ambicioso de encontrar todos os números primos até 100 milhões.

Esse “big data” dos anos 1800 teria servido apenas como uma tabela de referência, se Carl Friedrich Gauss não houvesse decidido analisar os números primos em si. Munido de uma lista dos primos até 3 milhões, Gauss começou a contá-los, um “chiliad”, ou grupo de 1.000 unidades, por vez. Ele contou os primos até 1.000, depois os primos entre 1.000 e 2.000, depois entre 2.000 e 3.000, e assim por diante.

Gauss descobriu que, conforme a contagem aumentava, os primos se tornavam gradualmente menos frequentes, de acordo com o inverso do logaritmo da contagem. A lei de Gauss não mostra exatamente quantos números primos existem, mas dá uma estimativa bastante boa. Por exemplo, sua lei prevê 72 primos entre 1.000.000 e 1.001.000. A contagem correta é de 75 primos, cerca de 4% de erro.

Um século após as primeiras investigações de Gauss, sua lei foi comprovada no “teorema dos números primos”. O erro percentual se aproxima de zero para intervalos de números primos cada vez maiores. A hipótese de Riemann, um problema cuja solução vale US$ 1 milhão hoje, também descreve o quão precisa é a estimativa de Gauss.

O teorema do número primo e a hipótese de Riemann recebem atenção e dinheiro, mas ambos foram desenvolvidos a partir de análises antigas e menos glamurosas.

Mistérios dos números primos modernos

 

Foto: Thiago Quadros/Nexo

Progressão de números primos
Progressão de números primos
 

Atualmente, nossos dados são oriundos de programas de computador, e não de estênceis cortados à mão, mas os matemáticos seguem descobrindo padrões nos números primos.

Últimos dígitos dos números primos

Com exceção de 2 e 5, todos os números primos terminam com os algarismos 1, 3, 7 ou 9. Nos anos 1800, foi provado que esses possíveis últimos algarismos eram igualmente frequentes. Ou seja, se observarmos os números primos até 1 milhão, cerca de 25% terminarão em 1, 25% terminarão em 3, 25% terminarão em 7, e 25% em 9.

Alguns anos atrás, os teóricos matemáticos de Stanford Robert Lemke Oliver e Kannan Soundararajan foram surpreendidos por peculiaridades nos algarismos finais dos números primos. Um experimento observou o último algarismo de um número primo e o último algarismo do número primo seguinte. Por exemplo, o número primo posterior a 23 é 29: pode-se constatar um 3 e um 9 em seus últimos algarismos. Encontra-se 3 e 9 mais frequentemente que 3 seguido de 7 entre os últimos dígitos?

Teóricos dos números esperavam alguma variação, mas o que encontraram superou as expectativas. Os primos são separados por diferentes lacunas: por exemplo, 23 está a seis números inteiros de 29. Mas primos terminados em 3 seguidos de primos terminados em 9, como 23 e 29, são mais comuns que primos terminados em 7 seguidos de primos terminados em 3, apesar de ambos terem um intervalo de 6 números entre si.

Os matemáticos logo encontraram uma explicação plausível. Mas no que diz respeito ao estudo de números primos sucessivos, eles se limitam (em sua maior parte) à análise de dados e à persuasão. Provas - o grande pilar dos matemáticos para explicar por que as  coisas são verdade - estão a décadas de distância.

The Conversation
 

 

 

Martin H. Weissman é professor associado de Matemática na Universidade da Califórnia em Santa Cruz.